ПЕШЕ-СТРЕЛЕЦКАЯ Д.91

МИНСКАЯ Д.83

Сложение логарифмов с одинаковыми показателями. Логарифм

В центре внимания этой статьи – логарифм
. Здесь мы дадим определение логарифма, покажем принятое обозначение, приведем примеры логарифмов, и скажем про натуральные и десятичные логарифмы. После этого рассмотрим основное логарифмическое тождество.

Навигация по странице.

Определение логарифма

Понятие логарифма возникает при решении задачи в известном смысле обратной , когда нужно найти показатель степени по известному значению степени и известному основанию.

Но хватит предисловий, пришло время ответить на вопрос «что такое логарифм»? Дадим соответствующее определение.

Определение.

Логарифм числа b
по основанию a
, где a>0
, a≠1
и b>0
– это показатель степени, в который нужно возвести число a
, чтобы в результате получить b
.

На этом этапе заметим, что произнесенное слово «логарифм» должно сразу вызывать два вытекающих вопроса: «какого числа» и «по какому основанию». Иными словами, просто логарифма как бы нет, а есть только логарифм числа по некоторому основанию.

Сразу введем обозначение логарифма
: логарифм числа b
по основанию a
принято обозначать как log a b
. Логарифм числа b
по основанию e
и логарифм по основанию 10
имеют свои специальные обозначения lnb
и lgb
соответственно, то есть, пишут не log e b
, а lnb
, и не log 10 b
, а lgb
.

Теперь можно привести : .

А записи

не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма находится отрицательное число, во второй – отрицательное число в основании, а в третьей – и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.

Теперь скажем о правилах чтения логарифмов
. Запись log a b
читается как «логарифм b
по основанию a
». Например, log 2 3
– это логарифм трех по основанию 2
, а – это логарифм двух целых двух третьих по основанию квадратный корень из пяти. Логарифм по основанию e
называют натуральным логарифмом
, а запись lnb
читается как «натуральный логарифм b
». К примеру, ln7
– это натуральный логарифм семи, а мы прочитаем как натуральный логарифм пи. Логарифм по основанию 10
также имеет специальное название – десятичный логарифм
, а запись lgb
читается как «десятичный логарифм b
». Например, lg1
– это десятичный логарифм единицы, а lg2,75
– десятичный логарифм двух целых семидесяти пяти сотых.

Стоит отдельно остановиться на условиях a>0
, a≠1
и b>0
, при которых дается определение логарифма. Поясним, откуда берутся эти ограничения. Сделать это нам поможет равенство вида , называемое , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.

Начнем с a≠1
. Так как единица в любой степени равна единице, то равенство может быть справедливо лишь при b=1
, но при этом log 1 1
может быть любым действительным числом. Чтобы избежать этой многозначности и принимается a≠1
.

Обоснуем целесообразность условия a>0
. При a=0
по определению логарифма мы бы имели равенство , которое возможно лишь при b=0
. Но тогда log 0 0
может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Избежать этой многозначности позволяет условие a≠0
. А при a<0
нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0
.

Наконец, условие b>0
следует из неравенства a>0
, так как , а значение степени с положительным основанием a
всегда положительно.

В заключение этого пункта скажем, что озвученное определение логарифма позволяет сразу указать значение логарифма, когда число под знаком логарифма есть некоторая степень основания. Действительно, определение логарифма позволяет утверждать, что если b=a p
, то логарифм числа b
по основанию a
равен p
. То есть, справедливо равенство log a a p =p
. Например, мы знаем, что 2 3 =8
, тогда log 2 8=3
. Подробнее об этом мы поговорим в статье

В соотношении

может быть поставлена задача отыскания любого из трех чисел по двум другим, заданным. Если даны а и то N находят действием возведения в степень. Если даны N и то а находят извлечением корня степени х (или возведением в степень ). Теперь рассмотрим случай, когда по заданным а и N требуется найти х.

Пусть число N положительно: число а положительно и не равно единице: .

Определение. Логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить число N; логарифм обозначается через

Таким образом, в равенстве (26.1) показатель степени находят как логарифм N по основанию а. Записи

имеют одинаковый смысл. Равенство (26.1) иногда называют основным тождеством теории логарифмов; в действительности оно выражает определение понятия логарифма. По данному определению основание логарифма а всегда положительно и отлично от единицы; логарифмируемое число N положительно. Отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют. Можно доказать, что всякое число при данном основании имеет вполне определенный логарифм. Поэтому равенство влечет за собой . Заметим, что здесь существенно условие в противном случае вывод был бы не обоснован, так как равенство верно при любых значениях х и у.

Пример 1. Найти

Решение. Для получения числа следует возвести основание 2 в степень Поэтому.

Можно проводить записи при решении таких примеров в следующей форме:

Пример 2. Найти .

Решение. Имеем

В примерах 1 и 2 мы легко находили искомый логарифм, представляя логарифмируемое число как степень основания с рациональным показателем. В общем случае, например для и т. д., этого сделать не удастся, так как логарифм имеет иррациональное значение. Обратим внимание на один связанный с этим утверждением вопрос. В п. 12 мы дали понятие о возможности определения любой действительной степени данного положительного числа. Это было необходимо для введения логарифмов, которые, вообще говоря, могут быть иррациональными числами.

Рассмотрим некоторые свойства логарифмов.

Свойство 1. Если число и основание равны, то логарифм равен единице, и, обратно, если логарифм равен единице, то число и основание равны.

Доказательство. Пусть По определению логарифма имеем а откуда

Обратно, пусть Тогда по определению

Свойство 2. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Доказательство. По определению логарифма (нулевая степень любого положительного основания равна единице, см. (10.1)). Отсюда

что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение: если , то N = 1. Действительно, имеем .

Прежде чем сформулировать следующее свойство логарифмов, условимся говорить, что два числа а и b лежат по одну сторону от третьего числа с, если они оба либо больше с, либо меньше с. Если одно из этих чисел больше с, а другое меньше с, то будем говорить, что они лежат по разные стороны от с.

Свойство 3. Если число и основание лежат по одну сторону от единицы, то логарифм положителен; если число и основание лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен.

Доказательство свойства 3 основано на том, что степень а больше единицы, если основание больше единицы и показатель положителен или основание меньше единицы и показатель отрицателен. Степень меньше единицы, если основание больше единицы и показатель отрицателен или основание меньше единицы и показатель положителен.

Требуется рассмотреть четыре случая:

Ограничимся разбором первого из них, остальные читатель рассмотрит самостоятельно.

Пусть тогда в равенстве показатель степени не может быть ни отрицательным, ни равным нулю, следовательно, он положителен, т. е. что и требовалось доказать.

Пример 3. Выяснить, какие из указанных ниже логарифмов положительны, какие отрицательны:

Решение, а) так как число 15 и основание 12 расположены по одну сторону от единицы;

б) , так как 1000 и 2 расположены по одну сторону от единицы; при этом несущественно, что основание больше логарифмируемого числа;

в) , так как 3,1 и 0,8 лежат по разные стороны от единицы;

г) ; почему?

д) ; почему?

Следующие свойства 4-6 часто называют правилами логарифмирования: они позволяют, зная логарифмы некоторых чисел, найти логарифмы их произведения, частного, степени каждого из них.

Свойство 4 (правило логарифмирования произведения). Логарифм произведения нескольких положительных чисел по данному основанию равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.

Доказательство. Пусть даны положительные числа .

Для логарифма их произведения напишем определяющее логарифм равенство (26.1):

Отсюда найдем

Сравнив показатели степени первого и последнего выражений, получим требуемое равенство:

Заметим, что условие существенно; логарифм произведения двух отрицательных чисел имеет смысл, но в этом случае получим

В общем случае, если произведение нескольких сомножителей положительно, то его логарифм равен сумме логарифмов модулей этих сомножителей.

Свойство 5 (правило логарифмирования частного). Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых по тому же основанию. Доказательство. Последовательно находим

что и требовалось доказать.

Свойство 6 (правило логарифмирования степени). Логарифм степени какого-либо положительного числа равен логарифму этого числа, умноженному на показатель степени.

Доказательство. Запишем снова основное тождество (26.1) для числа :

что и требовалось доказать.

Следствие. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня:

Доказать справедливость этого следствия можно, представив как и воспользовавшись свойством 6.

Пример 4. Прологарифмировать по основанию а:

а) (предполагается, что все величины b, с, d, е положительны);

б) (преполагается, что ).

Решение, а) Удобно перейти в данном выражении к дробным степеням:

На основании равенств (26.5)-(26.7) теперь можно записать:

Мы замечаем, что над логарифмами чисел производятся действия более простые, чем над самими числами: при умножении чисел их логарифмы складываются, при делении – вычитаются и т.д.

Именно поэтому логарифмы получили применение в вычислительной практике (см. п. 29).

Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием, а именно: потенцированием называется действие, с помощью которого по данному логарифму числа находится само это число. По существу потенцирование не является каким-либо особым действием: оно сводится к возведению основания в степень (равную логарифму числа). Термин «потенцирование» можно считать синонимом термина «возведенение в степень».

При потенцировании надо пользоваться правилами, обратными по отношению к правилам логарифмирования: сумму логарифмов заменить логарифмом произведения, разность логарифмов – логарифмом частного и т. д. В частности, если перед знаком логарифма находится какой-либо множитель, то его при потенцировании нужно переносить в показатель степени под знак логарифма.

Пример 5. Найти N, если известно, что

Решение. В связи с только что высказанным правилом потенцирования множители 2/3 и 1/3, стоящие перед знаками логарифмов в правой части данного равенства, перенесем в показатели степени под знаками этих логарифмов; получим

Теперь разность логарифмов заменим логарифмом частного:

для получения последней дроби в этой цепочке равенств мы предыдущую дробь освободили от иррациональности в знаменателе (п. 25).

Свойство 7. Если основание больше единицы, то большее число имеет больший логарифм (а меньшее – меньший), если основание меньше единицы, то большее число имеет меньший логарифм {а меньшее – больший).

Это свойство формулируют также и как правило логарифмирования неравенств, обе части которых положительны:

При логарифмировании неравенств по основанию, большему единицы, знак неравенства сохраняется, а при логарифмировании по основанию, меньшему единицы, знак неравенства меняется на противоположный (см. также п. 80).

Доказательство основано на свойствах 5 и 3. Рассмотрим случай, когда Если , то и, логарифмируя, получим

(а и N/М лежат по одну сторону от единицы). Отсюда

Случай а следует , читатель разберет самостоятельно.

(a^{b}=c) (Leftrightarrow) (log_{a}{c}=b)

Объясним проще. Например, (log_{2}{8}) равен степени, в которую надо возвести (2), чтоб получить (8). Отсюда понятно, что (log_{2}{8}=3).

Примеры:

(log_{5}{25}=2)

т.к. (5^{2}=25)

(log_{3}{81}=4)

т.к. (3^{4}=81)

(log_{2})(frac{1}{32})
(=-5)

т.к. (2^{-5}=)(frac{1}{32})

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание – подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм – нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

Например
, вычислите логарифм: а) (log_{4}{16}) б) (log_{3})(frac{1}{3})
в) (log_{sqrt{5}}{1}) г) (log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}) д) (log_{3}{sqrt{3}})

а) В какую степень надо возвести (4), чтобы получить (16)? Очевидно во вторую. Поэтому:

(log_{4}{16}=2)

(log_{3})(frac{1}{3})
(=-1)

в) В какую степень надо возвести (sqrt{5}), чтобы получить (1)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

(log_{sqrt{5}}{1}=0)

г) В какую степень надо возвести (sqrt{7}), чтобы получить (sqrt{7})? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

(log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}=1)

д) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (sqrt{3})? Из мы знаем, что – это дробная степень, и значит квадратный корень – это степень (frac{1}{2})
.

(log_{3}{sqrt{3}}=)(frac{1}{2})

Пример

: Вычислить логарифм (log_{4sqrt{2}}{8})

Решение

:

(log_{4sqrt{2}}{8}=x)

Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:
(log_{a}{c}=b) (Leftrightarrow) (a^{b}=c)

((4sqrt{2})^{x}=8)

Что связывает (4sqrt{2}) и (8)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить двойки:
(4=2^{2}) (sqrt{2}=2^{frac{1}{2}}) (8=2^{3})

({(2^{2}cdot2^{frac{1}{2}})}^{x}=2^{3})

Слева воспользуемся свойствами степени: (a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}) и ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n})

(2^{frac{5}{2}x}=2^{3})

Основания равны, переходим к равенству показателей

(frac{5x}{2})
(=3)

Умножим обе части уравнения на (frac{2}{5})

Получившийся корень и есть значение логарифма

Ответ

: (log_{4sqrt{2}}{8}=1,2)

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: (3^{x}=9). Просто подберите (x), чтобы равенство сработало. Конечно, (x=2).

А теперь решите уравнение: (3^{x}=8).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как (x=log_{3}{8}).

Хочу подчеркнуть, что (log_{3}{8}), как и любой логарифм – это просто число
. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: (1,892789260714…..)

Пример

: Решите уравнение (4^{5x-4}=10)

Решение

:

(4^{5x-4}=10)

(4^{5x-4}) и (10) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.

Воспользуемся определением логарифма:
(a^{b}=c) (Leftrightarrow) (log_{a}{c}=b)

(log_{4}{10}=5x-4)

Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

(5x-4=log_{4}{10})

Перед нами . Перенесем (4) вправо.

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.

(5x=log_{4}{10}+4)

Поделим уравнение на 5

(x=)(frac{log_{4}{10}+4}{5})

Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Ответ

: (frac{log_{4}{10}+4}{5})

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы ((a>0, aneq1)). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание – число Эйлера (e) (равное примерно (2,7182818…)), и записывается такой логарифм как (ln{a}).

То есть, (ln{a}) это то же самое, что и (log_{e}{a})

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается (lg{a}).

То есть, (lg{a}) это то же самое, что и (log_{10}{a})
, где (a) – некоторое число.

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

если (a^{b}=c), то (log_{a}{c}=b)

То есть, (b) – это тоже самое, что (log_{a}{c}). Тогда мы можем в формуле (a^{b}=c) написать (log_{a}{c}) вместо (b). Получилось (a^{log_{a}{c}}=c) – основное логарифмическое тождество.

Остальные свойства логарифмов вы можете найти . С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример

: Найдите значение выражения (36^{log_{6}{5}})

Решение

:

Ответ

: (25)

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что (log_{2}{4}) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать (log_{2}{4}).

Но (log_{3}{9}) тоже равен (2), значит, также можно записать (2=log_{3}{9}) . Аналогично и с (log_{5}{25}), и с (log_{9}{81}), и т.д. То есть, получается

(2=log_{2}{4}=log_{3}{9}=log_{4}{16}=log_{5}{25}=log_{6}{36}=log_{7}{49}…)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как (log_{2}{8}), или как (log_{3}{27}), или как (log_{4}{64})… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

(3=log_{2}{8}=log_{3}{27}=log_{4}{64}=log_{5}{125}=log_{6}{216}=log_{7}{343}…)

И с четверкой:

(4=log_{2}{16}=log_{3}{81}=log_{4}{256}=log_{5}{625}=log_{6}{1296}=log_{7}{2401}…)

И с минус единицей:

(-1=) (log_{2})(frac{1}{2})
(=) (log_{3})(frac{1}{3})
(=) (log_{4})(frac{1}{4})
(=) (log_{5})(frac{1}{5})
(=) (log_{6})(frac{1}{6})
(=) (log_{7})(frac{1}{7})
(…)

И с одной третьей:

(frac{1}{3})
(=log_{2}{sqrt{2}}=log_{3}{sqrt{3}}=log_{4}{sqrt{4}}=log_{5}{sqrt{5}}=log_{6}{sqrt{6}}=log_{7}{sqrt{7}}…)

Любое число (a) может быть представлено как логарифм с основанием (b): (a=log_{b}{b^{a}})

Пример

: Найдите значение выражения (frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})

Решение

:

Ответ

: (1)

Определение логарифма

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b .

Числом е
в математике принято обозначать предел, к которому стремиться выражение

Число е
является иррациональным числом
– числом, несоизмеримым с единицей, оно не может быть точно выраженным ни целым ни дробным рациональным
числом.

Буква е
– первая буква латинского слова exponere
– выставлять напоказ, отсюда в математике название экспоненциальная
– показательная функция.

Число
е
широко применяется в математике, и во всех науках, так или иначе применяющих для своих нужд математические расчеты.

Логарифмы. Свойства логарифмов

Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию называется показатель степени с, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b.

Основное логарифмическое тождество:

7) Формула перехода к новому основанию:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Задачи и тесты по теме «Логарифмы. Свойства логарифмов»

  • Логарифмы — Важные темы для повторения ЕГЭ по математике

Для успешного выполнения заданий по данной теме Вы должны знать определение логарифма, свойства логарифмов, основное логарифмическое тождество, определения десятичного и натурального логарифмов. Основные типы задач по данной теме — это задачи на вычисление и преобразование логарифмических выражений. Рассмотрим их решение на следующих примерах.

Решение:
Используя свойства логарифмов, получим

Решение:
используя свойства степени, получим

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Свойства логарифмов, формулировки и доказательства.

Логарифмы обладают рядом характерных свойств. В этой статье мы разберем основные свойства логарифмов
. Здесь мы дадим их формулировки, запишем свойства логарифмов в виде формул, покажем примеры их применения, а также приведем доказательства свойств логарифмов.

Навигация по странице.

Основные свойства логарифмов, формулы

Для удобства запоминания и использования представим основные свойства логарифмов
в виде списка формул. В следующем пункте дадим их формулировки, доказательства, примеры использования и необходимые пояснения.

  • Свойство логарифма единицы: log a 1=0 для любого a>0 , a≠1 .
  • Логарифм числа, равного основанию: log a a=1 при a>0 , a≠1 .
  • Свойство логарифма степени основания: log a a p =p , где a>0 , a≠1 и p – любое действительное число.
  • Логарифм произведения двух положительных чисел: log a (x·y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
    и свойство логарифма произведения n положительных чисел: log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0 .
  • Свойство логарифма частного: , где a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .
  • Логарифм степени числа: log a b p =p·log a |b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .
  • Следствие: , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .
  • Следствие 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .
  • Следствие 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p и q – действительные числа, q≠0 , в частности при b=a имеем .
  • Формулировки и доказательства свойств

    Переходим к формулированию и доказательству записанных свойств логарифмов. Все свойства логарифмов доказываются на основе определения логарифма и вытекающего из него основного логарифмического тождества, а также свойств степени.

    Начнем со свойства логарифма единицы
    . Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log a 1=0
    для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство log a 1=0 сразу следует из определения логарифма.

    Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log 3 1=0 , lg1=0 и .

    Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице
    , то есть, log a a=1
    при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма log a a=1 .

    Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log 5 5=1 , log 5,6 5,6 и lne=1 .

    Логарифм степени числа, равного основанию логарифма, равен показателю степени
    . Этому свойству логарифма отвечает формула вида log a a p =p
    , где a>0 , a≠1 и p – любое действительное число. Это свойство напрямую следует из определения логарифма. Заметим, что оно позволяет сразу указать значение логарифма, если есть возможность представить число под знаком логарифма в виде степени основания, подробнее об этом мы поговорим в статье вычисление логарифмов.

    К примеру, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 и

    .

    Логарифм произведения двух положительных чисел
    x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log a (x·y)=log a x+log a y
    , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a log a x+log a y =a log a x ·a log a y , а так как по основному логарифмическому тождеству a log a x =x и a log a y =y , то a log a x ·a log a y =x·y . Таким образом, a log a x+log a y =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.

    Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 и

    .

    Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x 1 , x 2 , …, x n как log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n
    . Данное равенство без проблем доказывается методом математической индукции.

    Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4 , e , и .

    Логарифм частного двух положительных чисел

    x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида

    , где a>0 , a≠1 , x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как

    , то по определению логарифма

    .
    Приведем пример использования этого свойства логарифма:

    .

    Переходим к свойству логарифма степени
    . Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log a b p =p·log a |b|
    , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .

    Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a log a b , тогда b p =(a log a b) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·log a b . Так мы приходим к равенству b p =a p·log a b , из которого по определению логарифма заключаем, что log a b p =p·log a b .

    Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение log a b p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , откуда log a b p =p·log a |b| .

    Например,

    и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня
    : логарифм корня n -ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .

    Доказательство базируется на равенстве (смотрите определение степени с дробным показателем), которое справедливо для любых положительных b , и свойстве логарифма степени:

    .
    Вот пример использования этого свойства:

    .
    Теперь докажем

    формулу перехода к новому основанию логарифма

    вида

    . Для этого достаточно доказать справедливость равенства log c b=log a b·log c a . Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как a log a b , тогда log c b=log c a log a b . Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: log c a log a b =log a b·log c a . Так доказано равенство log c b=log a b·log c a , а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма

    .
    Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и

    .

    Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов. Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.

    Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что log a b и log b a – взаимно обратные числа. К примеру,

    .
    Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем

    . Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a:

    .

    Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

    Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 2 и при 0 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как

    и

    соответственно, а из них следует, что log b a 1 ≤log b a 2 и log b a 1 ≥log b a 2 соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2 , то есть, a 1 ≥a 2 . Так мы пришли к противоречию условию a 1 2 . На этом доказательство завершено.

    Основные свойства логарифмов

    • Материалы к уроку
    • Скачать все формулы
    • Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы – это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами
      .

      Эти правила обязательно надо знать – без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного – все можно выучить за один день. Итак, приступим.

      Сложение и вычитание логарифмов

      Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y . Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

      Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность – логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь – одинаковые основания
      . Если основания разные, эти правила не работают!

      Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры – и убедитесь:

      Задача. Найдите значение выражения: log 6 4 + log 6 9.

      Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
      log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

      Задача. Найдите значение выражения: log 2 48 − log 2 3.

      Основания одинаковые, используем формулу разности:
      log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

      Задача. Найдите значение выражения: log 3 135 − log 3 5.

      Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
      log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

      Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные – подобные выражения на полном серьезе (иногда – практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

      Вынесение показателя степени из логарифма

      Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

    • log a x n = n · log a x ;
    • Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить – в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

      Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

      Задача. Найдите значение выражения: log 7 49 6 .

      Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
      log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

      Задача. Найдите значение выражения:

      [Подпись к рисунку]

      Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Имеем:

      [Подпись к рисунку]

      Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели – получили «трехэтажную» дробь.

      Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log 2 7. Поскольку log 2 7 ≠ 0, можем сократить дробь – в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

      Переход к новому основанию

      Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

      На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

      Пусть дан логарифм log a x . Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

      [Подпись к рисунку]

      В частности, если положить c = x , получим:

      [Подпись к рисунку]

      Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

      Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

      Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

      Задача. Найдите значение выражения: log 5 16 · log 2 25.

      Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

      А теперь «перевернем» второй логарифм:

      [Подпись к рисунку]

      Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

      Задача. Найдите значение выражения: log 9 100 · lg 3.

      Основание и аргумент первого логарифма – точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

      [Подпись к рисунку]

      Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

      [Подпись к рисунку]

      Основное логарифмическое тождество

      Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

    1. n = log a a n
    2. В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

      Вторая формула – это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.

      В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a ? Правильно: получится это самое число a . Внимательно прочитайте этот абзац еще раз – многие на нем «зависают».

      Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

      [Подпись к рисунку]

      Заметим, что log 25 64 = log 5 8 – просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

      [Подпись к рисунку]

      Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ

      Логарифмическая единица и логарифмический ноль

      В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами – скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

      1. log a a = 1 – это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
      2. log a 1 = 0 – это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица – логарифм равен нулю! Потому что a 0 = 1 – это прямое следствие из определения.

      Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее – и решайте задачи.

      Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание).

      Свойства логарифма
      вытекают из его определения. И так логарифм числа b
      по основанию а
      определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a
      , чтобы получить число b
      (логарифм существует только у положительных чисел).

      Из данной формулировки следует, что вычисление x=log a b
      , равнозначно решению уравнения a x =b.
      Например, log 2 8 = 3
      потому, что 8 = 2 3
      . Формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с
      , то логарифм числа b
      по основанию a
      равен с
      . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа.

      С логарифмами, как и с любыми числами, можно выполнять операции сложения, вычитания
      и всячески трансформировать. Но ввиду того, что логарифмы — это не совсем ординарные числа, здесь применимы свои особенные правила, которые называются основными свойствами
      .

      Сложение и вычитание логарифмов.

      Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x
      и log a y
      . Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

      Как видим, сумма логарифмов
      равняется логарифму произведения, а разность
      логарифмов
      — логарифму частного. Причем это верно если числа а
      , х
      и у
      положительны и а ≠ 1.

      Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!

      Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.

      Логарифм произведения
      двух положительных чисел равен сумме их логарифмов;
      перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а
      , x
      и у
      положительны и а ≠ 1
      , то:

      Логарифм частного
      двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а
      , х
      и у
      положительны и а ≠ 1
      , то:

      Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров
      :

      Если числа x
      и у
      отрицательны, то формула логарифма произведения
      становится бессмысленной. Так, запрещено писать:

      так как выражения log 2 (-8) и log 2 (-4) вообще не определены (логарифмическая функция у
      = log 2 х
      определена лишь для положительных значений аргументах
      ).

      Теорема произведения
      применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k
      и любых положительных чисел x
      1 , x
      2 , . . . ,x n
      существует тождество:

      Из теоремы логарифма частного
      можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что log a
      1= 0, следовательно,

      А значит имеет место равенство:

      Логарифмы двух взаимно обратных чисел
      по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:

      Логарифм. Свойства логарифмов

      Логарифм. Свойства логарифмов

      Рассмотрим равенство . Пусть нам известны значения и и мы хотим найти значение .

      То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .

      Пусть переменная может принимать любое действительное значение, тогда на переменные и накладываются такие ограничения: o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>

      Если нам известны значения и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое действие, которое называется логарифмирование
      .

      Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа
      по основанию
      :

      Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

      То есть основное логарифмическое тождество
      :

      o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>

      является по сути математической записью определения логарифма
      .

      Математическая операция логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов
      тесно связаны со свойствами степени.

      Перечислим основные свойства логарифмов
      :

      (o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

      d>0″/>, 1″ title=»d1″/>

      4.

      5.

      Следующая группа свойств позволяет представить показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента перед знаком логарифма:

      6.

      7.

      8.

      9.

      Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию
      :

      10.

      12.
      (следствие из свойства 11)

      Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

      13.

      14.

      15.

      Частные случаи:

      десятичный логарифм

      натуральный логарифм

      При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход:

      1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

      2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

      3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

      4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

      5. Применяем свойства логарифмов.

      Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

      Пример 1.

      Вычислить:

      Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

      ==(по свойству 7)=(по свойству 6) =

      Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

      Ответ: 5,25

      Пример 2. Вычислить:

      Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби «перекочуют» в числитель):

      Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

      Применим свойства 4 и 6:

      Введем замену

      Получим:

      Ответ: 1

      Логарифм
      .
      Основное логарифмическое тождество.

      Свойства логарифмов.
      Десятичный логарифм. Натуральный логарифм.

      Логарифмом

      положительного числа N по основанию
      (b
      > 0, b
      1) называется показатель степени x , в которую нужно возвести b , чтобы получить N
      .

      Эта запись равнозначна следующей: b x = N
      .

      П р и м е р ы: log 3 81 = 4 , так как 3 4 = 81 ;

      log 1/3 27 =
      3 , так как (1/3) — 3 = 3 3 = 27 .

      Вышеприведенное определение логарифма можно записать в виде тождества:

      Основные свойства логарифмов.

      2) log 1 = 0 , так как b
      0 = 1 .

      3) Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

      4) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:

      5) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания:

      Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня
      равен логарифму подкоренного числа, делённому на степень корня:

      6) Если в основании логарифма находится степень, то величину,
      обратную показателю степени, можно вынести за знак лога рифма:

      Два последних свойства можно объединить в одно:

      7) Формула модуля перехода (т. e . перехода от одного основания логарифма к другому основанию):

      В частном случае при N = a
      имеем:

      Десятичным логарифмом

      называется логарифм по основанию
      10. Он обозначается lg , т.е. log 10 N
      = lg N
      . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, . p авны соответственно 1, 2, 3, …, т.е. имеют столько положительных

      единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, . p авны соответственно –1, –2, –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей (считая и нуль целых). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой
      . Целая часть логарифма называется характеристикой
      . Для практического при менения десятичные логарифмы наиболее удобны.

      Натуральным логарифмом

      называется логарифм по основанию
      е
      . Он обозначается ln , т.е. log e
      N
      = ln N
      . Число е
      является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число (1 + 1 / n
      ) n
      при неограниченном возрастании n
      (см. первый замечательный предел
      на странице «Пределы числовых последовательностей»).
      Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е
      осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

    • Что нужно сегодня для усыновления ребенка в России?
      Усыновление в России, кроме ответственного личного решения, предполагает ряд процедур государственной проверки кандидатов. Жесткий отбор на подготовительном этапе способствует более […]
    • Сведения бесплатно по ИНН или ОГРН из реестра налоговой по всей России – онлайн
      На Едином портале Налоговых услуг могут быть получены сведения о государственной регистрации юридических лиц, индивидуальных предпринимателей, […]
    • Наказание за езду без документов (водительские права, страховка, СТС)
      Иногда по забывчивости водители садятся за руль без ВУ и получают штраф за езду без документов. Напомним, что автолюбитель за рулём при себе в обязательном порядке […]
    • Цветы мужчин. Какие цветы можно подарить мужчине?
      Какие цветы мужчине можно подарить? «Мужских» цветов не так много, но есть такие, которые дарят мужчинам. Маленький цветочный список перед вами:
      Хризантемы.
      Розы.
      Гвоздики.
      […]
    • Служебная записка – это специальная форма документа, которая используется во внутренней среде предприятия и служит для быстрого решения текущих производственных проблем. Обычно этот документ составляется с целью внесения какого-либо […]
    • Когда и как получить накопительную часть пенсии в Сбербанке?
      Сбербанк является банком-партнером государственного пенсионного фонда.
      На основании этого граждане, оформившие накопительную пенсию, могли переводить в него накопительную часть […]
    • Детские пособия в Ульяновске и Ульяновской области в 2018 году
      Кроме того, во всех субъектах работают программы, утвержденные федеральным законодательством. Разберем, кто и на какие льготы может рассчитывать. Как региональные власти […]
    • Подробное руководство, как составить доверенность на представление интересов физического лица в суде
      В гражданском или арбитражном иске, в административном или уголовном деле интересы и истца, и ответчика могут представляться поверенным: […]

    Одним из элементов алгебры примитивного уровня является логарифм. Название произошло из греческого языка от слова “число” или “степень” и означает степень, в которую необходимо возвести число, находящееся в основании, для нахождения итогового числа.

    Виды логарифмов

    • log a b
      – логарифм числа b
      по основанию a
      (a
      > 0, a
      ≠ 1, b
      > 0);
    • lg b
      – десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a
      = 10);
    • ln b
      – натуральный логарифм (логарифм по основанию e
      , a
      = e
      ).

    Как решать логарифмы?

    Логари́фм числа b по основанию a является показателем степени, которая требует, чтобы в число b возвели основание а. Полученный результат произносится так: “логарифм b по основанию а”. Решение логарифмических задач состоит в том, что вам необходимо определить данную степень по числам по указанным числам. Существуют некоторые основные правила, чтобы определить или решить логарифм, а также преобразовать саму запись. Используя их, производится решение логарифмических уравнений, находятся производные, решаются интегралы и осуществляются многие другие операции. В основном, решением самого логарифма является его упрощенная запись. Ниже приведены основные формулы и свойства:

    Для любых a
    ; a
    > 0; a
    ≠ 1 и для любых x
    ; y
    > 0.

    • a
      log a b
      = b
      – основное логарифмическое тождество
    • log a
      1 = 0
    • log a a
      = 1
    • log a
      (x · y
      ) = log a x
      + log a y
    • log a
      x/
      y
      = log a x
      – log a y
    • log a
      1/x
      = -log a x
    • log a x p
      = p
      log a x
    • log a k x
      = 1/k
      · log a x
      , при k
      ≠ 0
    • log a x
      = log a c x c
    • log a x
      = log b x/
      log b a
      – формула перехода к новому основанию
    • log a x
      = 1/log x a


    Как решать логарифмы – пошаговая инструкция решения

    • Для начала запишите необходимое уравнение.

    Обратите внимание: если в логарифме по основанию стоит 10 , то запись укорачивается, получается десятичный логарифм. Если стоит натуральное число е, то записываем, сокращая до натурального логарифма. Имеется ввиду, что результат всех логарифмов – степень, в которую возводится число основания до получения числа b.


    Непосредственно, решение и заключается в вычислении этой степени. До того как решить выражение с логарифмом, его необходимо упростить по правилу, то есть, пользуясь формулами. Основные тождества вы сможете найти, вернувшись немного назад в статье.

    Складывая и вычитая логарифмы с двумя различными числами, но с одинаковыми основаниями, заменяйте одним логарифмом с произведением или делением чисел b и с соответственно. В таком случае можно применить формулу перехода к другому основания (см. выше).

    Если вы используете выражения для упрощения логарифма, то необходимо учитывать некоторые ограничения. А то есть: основание логарифма а – только положительное число, но не равное единице. Число b, как и а, должно быть больше нуля.

    Есть случаи, когда упростив выражение, вы не сможете вычислить логарифм в числовом виде. Бывает, что такое выражение не имеет смысла, ведь многие степени – числа иррациональные. При таком условии оставьте степень числа в виде записи логарифма.




    Ссылка на основную публикацию
    Похожее